複素数平面の入試問題 複素関数の問題です複素平面内におけ

複素数平面の入試問題 複素関数の問題です複素平面内におけ。∫[Cε]fzdz=。複素関数の問題です
複素平面内における半径r>0の上半円周を
C(r)={re^iθ 0≦θ≦π}と表し反時計回りに向きを入れるとする
f(z)=(1+iz e^(iz))/z3 とした時
⑴極限lim[R→∞]∫[C(R)]f(z)dz を求めよ
⑵一般にC(複素平面)上の正則関数g(z)は
lim[ε→0]∫[C(ε)]g(z)dz=0となることを示せ
⑶極限lim[ε→0]∫[C(ε)]f(z)dzを求めよ
⑷広義積分∫[0→∞]x sinx/x3 dxを求めよ

という問題で、⑴が0
⑵はΓ=C[ε]∪[ ε,ε]としてgがC上正則よりコーシーの積分定理から∮[Γ]g(z)dz=0となり、実軸上の積分∫[ ε,ε]g(x)dxはε→0で区間が[0,0)となり積分値が当然0になるので
lim[ε→0]∫[C(ε)]g(z)dz=0とできました
ただ⑶がどのように求めればいいかわかりません
自分はf(z)のローラン展開から1位の極0がわかるので留数定理からΓでの積分がπi,⑵同様に実軸上の積分も0とする事で
lim[ε→0]∫[C(ε)]f(z)dz=πiとして進め⑷の答えがπ/2となりました
しかし後から[ ε,ε]での積分が出来ないことに気づき、どのようにすれば⑶が求まるのかよくわからなくなりました 常套手段の不等式での評価だと分母のεの次数が分子より上回ってしまい発散し、微分の定義を考えても発散する部分が出てよくわからなくなりました 宜しければ⑶のやり方を教えて頂きたいです よろしくお願いします 複素関数の問題です複素平面内における半径rgt;の画像。

複素数平面の入試問題。各々の答案は筆者が作成したものです.間違いなどが?=は右図の青で
示した通り,軸虚軸上の点を中心とする半径の円を表す. は軸実
複素数平面上で,等式を満たす点の全体の集合は中心がア+イ,半径がウ
の円を表す. 等式を※がやに一致するとき, と が垂直だとは高校
では言わないが,上の内積は0になるので,や自体も軌跡に含まれる.
例題

∫[Cε]fzdz= ∫[Cε]{1 + iz – e^iz/z3}dz についてz = εe^iθ 0 ≦ θ ≦ π とすると dz = izdθ より= ∫[0→π]{1 + iz – e^iz/z3}izdθ※ あえて z のままの式にしていますm_ _m= i∫[0→π]{1 + iz – e^iz/z2}dθ となりますね☆ここで ε → +0 z → 0 を考えると1 + iz – e^iz/z2 → 1/2 より※ これはテイラー展開やロピタルの定理から→ i∫[0→π]1/2dθ= iπ/2 です*^^*よって ∫[0→∞]{x – sinx}/x3dx = π/4となりますよ*? ?????

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